A todos los maestros que enseñamos matemáticas nos preocupa cuando los niños no pueden resolver problemas verbales.  Utilizamos este tipo de problemas con el fin de ayudarles a aplicar su conocimiento matemático en situaciones de la vida diaria, reconociendo que lo más importante en la enseñanza de las matemáticas no es el manejo de las operaciones básicas sino su utilización en circunstancias concretas.  Estos problemas ejemplifican condiciones de experiencias en las que se requiere del manejo de los números y de las diversas operaciones.  El mundo en que vivimos está rodeado de tecnología y, aunque los procedimientos de los algoritmos se siguen enseñando en las instituciones educativas, la enseñanza de las operaciones deja de ser prioritaria, dando más Importancia a su aplicación.

Infortunadamente, ante un problema verbal muchos niños parecen “adivinar” las operaciones o los procesos que deben realizar.  Además, con frecuencia le preguntan a su maestro qué es lo que deben hacer.  En algunos casos utilizan la misma operación para todos los problemas.  Cuando un niño hace esto no está mostrando comprensión de este tipo de texto que requiere de un análisis minucioso para poder tomar una decisión apropiada.  Los problemas verbales, por lo tanto, no son sólo un asunto de la clase matemáticas sino también de lenguaje porque requiere de la comprensión lectora de un tipo de texto especial que los niños deben aprender a manejar.  De esta manera, los problemas verbales pertenecen a ambas áreas académicas, a las matemáticas y al lenguaje, pues se trata de traducir un enunciado verbal a un lenguaje matemático.

Debemos, por lo tanto, enseñar a los niños estrategias de comprensión de este tipo de escritos para que los puedan traducir apropiadamente a un lenguaje matemático con el fin de darle solución a los problemas.  La atención se debe enfocar al sentido general del texto y no solamente a unas palabras clave como lo hacen muchos maestros puesto que éstas pueden llevar a una respuesta incorrecta.  Por ejemplo, si enseñamos a los niños que la palabra más indica que hay que sumar, un problema como el siguiente, “Pedro tiene 5 canicas más que Juan.  Pedro tiene 8 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Juan?” llevaría a responder que Juan tiene 13 canicas cuando en realidad tiene 3.  Este mismo tipo de situación puede llevar a soluciones erróneas con otras palabras como menos, total, sobra, falta, cada uno, etc.

El objetivo del presente escrito es presentar los fundamentos teóricos de la psicología histórico-cultural de Vygotski y sus seguidores que subyacen al planteamiento de una estrategia de enseñanza para la solución de problemas matemáticos.   Se presentará la Teoría de la Actividad de Leontiev y la propuesta de Galperin sobre el desarrollo por etapas de las acciones mentales.  En artículos posteriores se ilustrará la manera cómo estos principios se aplican a la enseñanza de los diferentes tipos de problemas matemáticos.

Teoría Histórico-Cultural de  Vygotsky y sus Seguidores

La psicología Histórico-Cultural  de Vygotsky y sus seguidores postula que el desarrollo psíquico es el resultado de la asimilación de la experiencia social a partir de la práctica individual.  El niño, a medida que crece y aprende, asimila la experiencia de la humanidad elaborada a lo largo de su historia.  Esta asimilación la realiza en la interacción con el adulto, quien se la transmite al niño principalmente a través de la enseñanza.  Desde esta mirada las capacidades de los niños, incluyendo las habilidades matemáticas, no son innatas sino que se forman durante el desarrollo y el proceso de aprendizaje; por lo tanto, todo niño con un cerebro sano tiene potencialidad para aprender lo que se le enseña en la escuela.  Esta perspectiva le concede al maestro un papel fundamental en el desarrollo del niño; es él quien lo orienta y por lo tanto se convierte en elemento clave tanto en el aprendizaje como en el desarrollo psíquico del niño.  Para lograr esto debe poder identificar las condiciones que garanticen la formación de las capacidades cognoscitivas de sus alumnos con el fin de proponer acciones pedagógicas apropiadas.  Esto, sin embargo, no excluye el papel del alumno, quien es considerado sujeto activo de su aprendizaje a medida que interioriza lo que se le enseña.

La Mediatización en la Teoría Histórico-Cultural

El hombre, a lo largo de la historia, ha elaborado signos que mediatizan los procesos psíquicos.  Estos signos son instrumentos que se interiorizan gradualmente; inicialmente son externos y materiales y luego se hacen internos, permitiendo el desarrollo y la modificación de la actividad. Entre estos signos encontramos el lenguaje oral y escrito y, en el caso de las matemáticas, los números y demás símbolos que conforman un lenguaje disciplinar específico.  Al utilizar estos instrumentos, el sujeto aprende a regular y direccionar su propia conducta y actividad cognoscitiva.  Según Vigotsky, estas funciones psíquicas superiores aparecen en el desarrollo del niño dos veces: la primera vez como una actividad social interpsíquica y luego individual o intrapsíquica.  En este aspecto, los padres y luego los maestros tienen un rol primordial pues es principalmente con ellos que el niño utiliza por primera vez la mediatización a través de los signos y símbolos que poco a poco va interiorizando para poder usarlos de manera independiente.

Teoría de la Actividad de Leontiev

La actividad es el proceso de interacción con el mundo externo que permite la solución de problemas.  Desde este punto de vista, el desarrollo, incluido el desarrollo de las habilidades matemáticas y de los conceptos que las soportan, parte de la actividad del niño, realizando acciones con los objetos que le permitan descubrir relaciones.  A través de estas acciones el niño forma conceptos y competencias.  Estas acciones primero las realiza externamente en compañía del adulto y luego de manera interna.  Igualmente, el uso de instrumentos mediatizadores como el lenguaje verbal y matemático, primero se ejecuta en la actividad conjunta y gradualmente se convierten en internos.  Esta teoría integra el papel orientador del maestro como elemento clave en la enseñanza y enfoca el desarrollo psíquico del los niños a partir de su experiencia cultural, de su aprendizaje.  El desarrollo, por lo tanto, conduce a la interiorización de las acciones, las cuales inicialmente son externas y luego se convierten en acciones mentales.

Componentes de la Actividad

Según Leontiev, la actividad permite que el hombre se pueda relacionar con el mundo para adaptarse a él y poder transformarlo.  De acuerdo con esta teoría, la actividad tiene una estructura que consta de varios componentes, los cuales no se presentan de manera lineal sino que ocurren simultáneamente de manera dinámica y flexible:

—  Motivo y objetivo – El motivo es lo que mueve al sujeto a la realización de una acción y a alcanzar el objetivo.  El motivo está relacionado con la esfera afectivo-emocional y por lo tanto su estabilidad depende del equilibrio emocional del sujeto.

—  Acción – Las acciones son los componentes primordiales de la actividad y están orientadas por el motivo de la actividad, subordinado a un objetivo consciente.  La acción es el acto de la actividad vital del sujeto que parte de motivos determinados y se dirige hacia una meta establecida.

—  Operación – Las operaciones son las competencias automatizadas que se utilizan para llevar a cabo una acción, las cuales se constituyen en las condiciones necesarias para realizarla.  En la ejecución de una acción se incluye un sistema de operaciones, las cuales no son conscientes y  se forman de acciones previas a medida que se mecanizan. 

—  Mecanismos psicofisiológicos – Estos mecanismos son la base orgánica de la actividad, apoyando las operaciones durante la realización de una acción y son el objeto de estudio de las neurociencias.

Toda actividad tiene la misma estructura, sea ésta externa o interna.  La actividad externa es práctica y poco a poco se interioriza hasta convertirse en interna.

Durante los años de primaria, la actividad principal del niño es el aprendizaje escolar.  Esta actividad está conformada por un gran número de acciones que los maestros le proponen al niño.  Las primeras acciones, a medida que se hacen automáticas, se convierten en operaciones que luego serán utilizadas en nuevas acciones.  Por ejemplo, las primeras acciones en la enseñanza de las matemáticas llevan a que los niños aprendan los conceptos de suma y resta así como las combinaciones numéricas básicas y la solución de problemas sencillos con estas combinaciones.  A medida que estas combinaciones y su utilización en problemas sencillos se automatizan se convierten en operaciones a ser utilizadas en nuevas acciones como la solución de problemas más complejos que involucran sumas y restas con números multidígitos.  Igualmente sucede con las tablas de multiplicar y los problemas de multiplicación y división más complejos.

Principios Fundamentales de la Actividad

La Teoría de la Actividad llevó a plantear tres principios fundamentales:

—  Carácter activo – El hombre no sólo se adapta a su ambiente sino que es un ser activo con capacidades para transformar su entorno tanto externo como interno.  Igualmente, el niño es sujeto activo de su aprendizaje, el cual le permite tener más control sobre su entorno y sobre su actividad cognoscitiva.

—  Naturaleza social de la actividad psíquica del hombre – La experiencia cultural desarrollada por el hombre a lo largo de la historia no se trasmite mediante la herencia biológica, aunque es ésta la que provee la base material sobre la que se construyen los diversos aprendizajes.  La transmisión de la herencia cultural, incluido el conocimiento matemático, se hace socialmente, a través de formas complejas como el lenguaje y los productos de la civilización.  La manera como se enseña este conocimiento se ha modificado a lo largo de la historia y recientemente, desde el final del siglo XIX, se realiza de manera especial por medio de la educación escolar, la cual se ha organizado para que el estudiante asimile la experiencia y el conocimiento de las generaciones anteriores.

—  Unidad de la actividad psíquica-interna y la actividad externa-práctica – La actividad psíquica-interna es actividad externa transformada; como se anotó anteriormente, ambos tipos de actividad comparten una misma estructura.  La actividad psíquica no solamente se forma en el proceso de la actividad práctica sino a partir de ésta.  En la solución de problemas matemáticos, por ejemplo, al comienzo el niño los resuelve mediante acciones externas utilizando material manipulable y luego representaciones gráficas.  A medida que interioriza estas acciones puede resolver los mismos problemas de manera interna, sin necesidad de realizar una acción externa.

Dos Niveles de Desarrollo

En el proceso de enseñanza es necesario distinguir entre los dos niveles de desarrollo planteados por Vygotrski:

—  Nivel de desarrollo actual – Lo que el niño ya ha adquirido en su desarrollo y lo puede realizar independientemente, sin apoyo.  Por lo tanto, si se enseña al niño a este nivel de desarrollo es poco o nada lo que aprende.

—  Zona de Desarrollo Potencial o Próximo (ZDP) – La ZDP incluye todo lo que se encuentra en proceso de maduración y que se puede potenciar con la ayuda de alguien que ya lo tenga establecido.  Este nivel de desarrollo potencial está determinado por la capacidad de resolver un problema bajo la orientación del adulto o de otro niño que ya lo haya adquirido.  La enseñanza se debe enfocar hacia este nivel de desarrollo con el fin de lograr un aprendizaje significativo; el adulto plantea al niño acciones y le orienta en la manera de realizarlas adecuadamente.

—  A medida que un niño aprende, lo que estaba en su ZDP pasa a ser parte de su zona de desarrollo actual y se crea una nueva ZDP hacia la cual se deben dirigir los nuevos esfuerzos de enseñanza.

En un aula de clase el maestro va a encontrar estudiantes con diferentes ZDP y es importante que las pueda descubrir por medio de una evaluación dinámica permanente de tal manera que logre brindarle a cada alumno algo nuevo para aprender.  En el caso de las matemáticas, a los diferentes  niños dentro de un aula de clase se les puede plantear problemas distintos que no sean tan fáciles que los puedan resolver sin ayuda ni tan difíciles que aún con apoyo no logren comprenderlos.  Los problemas que se presenten a cada niño deben ser suficientemente desafiantes de tal manera que requieran de una exigencia cognoscitiva y un apoyo de alguien más competente.  Es recomendable tener un banco de problemas clasificados por nivel de dificultad que se puedan presentar a los niños de diferente nivel de desarrollo dentro del aula.

Formación por Etapas de las Acciones Mentales de Galperin

El hombre tiene la posibilidad de desarrollar una gran variedad de habilidades y estrategias de manera interna, sin la presencia de objetos externos.  Galperin distingue las acciones materiales que se realizan en presencia de las situaciones problemáticas de las acciones mentales que se pueden ejecutar de manera abstracta.   Las acciones mentales, sin embargo, no son independientes de las materiales sino que se forman a partir de estas últimas, manteniendo el mismo contenido.  Galperin propuso el modelo de formación por etapas de las acciones mentales para explicar la manera cómo las acciones se transforman de un plano material a un plano interno.  Aunque esta propuesta no fue inicialmente formulada como un método psicopedagógico, tienen aplicaciones prácticas en la enseñanza escolar sugiriendo una estrategia que sigue las siguientes etapas:

—  Formación de la base orientadora de la acción (BOA) – La orientación permite dirigir las acciones hacia los objetivos; ésta incluye la valoración de la situación del problema, la preparación del plan para la solución, la elaboración de la estrategia y la identificación de las operaciones necesarias.  La BOA, entonces, consiste en el sistema de condiciones en las cuales se apoya el sujeto durante la realización de una acción.  En el aula de clase, el maestro le proporciona al estudiante el esquema de la BOA, el cual consiste en una introducción y contextualización a la nueva tarea que va a realizar, teniendo en cuenta las condiciones que determinan el proceso para su realización, a las cuales los estudiantes deben poder recurrir con el apoyo del maestro.  El maestro presenta las instrucciones para ejecutar la acción y modela a los estudiantes la tarea a realizar.  Es importante que los alumnos participen activamente en esta etapa para que identifiquen y comprendan los requerimientos de la tarea que deben llevar a cabo de tal manera que les sirva de base para continuar con las siguientes etapas.

—  Formación del aspecto material-materializado de la acción – Durante esta etapa la acción se realiza inicialmente con material y luego con una representación gráfica que reproduzca las relaciones esenciales.  El alumno participa activamente, haciendo uso de las operaciones necesarias mientras que el maestro realiza un control y ofrece orientación.  En el caso de la solución de problemas matemáticos, el niño primero los resuelve utilizando objetos manipulables y luego con dibujos esquemáticos.  Es importante que el maestro guíe a los niños a realizar esquemas que demuestren una comprensión del texto del problema y el proceso para su solución; no se trata de dibujar el resultado.  Como transición hacia la siguiente etapa, estas acciones materializadas se pueden acompañar del habla del niño con el apoyo del adulto para complementar lo que el niño no logra expresar verbalmente por sí mismo.  Igualmente, se va introduciendo el lenguaje matemático que permite llegar a la solución del problema, incluyendo las diversas ecuaciones que se pueden utilizar.  A lo largo de esta etapa los estudiantes se deben llevar hacia la generalización y abstracción; en el caso de problemas aritméticos, se debe llevar a que los niños puedan utilizar cualquier objeto (ej. cubos) para representar cualquier otro objeto (ej. animales) y que sus representaciones gráficas sean cada vez menos concretas y más abstractas.

—  Formación del aspecto verbal externo – Una vez ya no es necesaria la inmediatez con los objetos, se enfatiza el uso del lenguaje verbal externo en la realización de la tarea, el cual debe reflejar la acción material o materializada.  Al hacer esto el niño se hace más consciente de la acción sin la necesidad de utilizar objetos o sus representaciones; el habla se comienza a utilizar como mediadora del proceso de ejecución.  En el trabajo con los problemas matemáticos, cuando el niño ya no requiere del uso de material manipulable, el maestro guía al niño para que exprese verbalmente el proceso de solución para luego pedirle que utilice el lenguaje escrito y el lenguaje matemático.

—  Formación de la acción como acto mental a través del lenguaje interiorizado – En esta etapa final la acción se automatiza  y el proceso no es accesible a la observación directa; la acción se ha transformado de su forma externa a la interna.  Inicialmente el alumno utiliza el lenguaje externo para sí, en silencio; gradualmente la “pronunciación” de cada palabra se hace innecesaria y la acción se realiza utilizando el lenguaje interno.

Es importante anotar que estas etapas se presentan para cada tipo de acción o de problema nuevo que se le presente a los niños y no depende de la edad.  Adicionalmente, la orientación y el control que debe ejercer el maestro va disminuyendo a medida que los niños avanzan en el proceso; durante la etapa material-materializada de la acción, deben ser sistemáticos, lo mismo que durante el inicio de la etapa verbal externa.  Al final de esta etapa verbal externa la orientación y el control deben reducirse y ser más episódicos.

Conclusión

La psicología histórico-cultural ofrece un fundamento conceptual sólido que puede ser aplicado en la enseñanza escolar, incluyendo la educación matemática.  Le concede un rol importante al maestro como guía en el proceso de interiorización por parte del niño de la experiencia cultural de la humanidad, dentro de la cual se incluye el conocimiento matemático.  Al mismo tiempo, concibe al niño como un sujeto activo en su proceso de aprendizaje, con potencialidad para aprender lo que se enseña en la escuela.  La aplicación práctica de estos principios en las estrategias pedagógicas dentro de la educación matemática, en especial de la solución de problemas, se ilustrará en futuros artículos.

Bibliografía

Ortiz-Moncada, G. (2007).  La Formación de Concepto de Número en Escolares de una Comunidad de Habla Náhuatl-Castellana. Puebla, México: Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.

Solovieva Y. (2004).  El Desarrollo Intelectual y su Evaluación: Una Aproximación Histórico-Cultural. Puebla, México: Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.

Talizina, N.F. (2000).  Manual de Psicología Pedagógica. San Luis Potosí, México: Universidad Autónoma de San Luis Potosí.

Talizina, N.F. (2001).  La Formación de las Habilidades de Pensamiento Matemático. San Luis Potosí, México: Universidad Autónoma de San Luis Potosí.