A nivel escolar utilizamos algún tiempo, en especial al comienzo de cada año, trabajando en la comprensión del concepto de valor de posición, incluyendo tanto la lectura y escritura de números como la revisión del valor de los dígitos de acuerdo con el lugar que ocupan dentro del número (unidades, decenas, centenas, etc.).  Sin embargo, aún si los niños pueden hacer correctamente las tareas sobre el valor de posición que les damos, eso no significa que han comprendido completamente nuestro sistema de numeración decimal.  La razón es que el valor de posición es solamente uno de los aspectos involucrados en el sistema numérico que nosotros utilizamos.  Adicionalmente, ellos pueden aprender a responder a estas tareas de manera mecánica, sin una comprensión real.

El sistema de numeración decimal está basado en dos principios:

1. 10 como base del sistema: Hacer grupos de 10: 10 unidades hacen una decena, 10 decenas hacen una centena, etc. Veamos una representación gráfica del número 236, siguiendo este principio:

2. Posición: Esto consiste en asignar un lugar a cada tipo de unidad (unidades, decenas, centenas, etc.).  A la izquierda está la unidad de mayor valor, la de orden inmediatamente menor a la derecha de la anterior y luego la siguiente hasta que se escribe la unidad de menor valor.  Para el número 236, sería así:

Centenas – 2 grupos de 10 de 10	Decenas – 3 grupos de 10 unidades no contenidas en los grupos de 10 de 10	Unidades – 6 elementos no contenidos en los grupos de 10
2	3	6

Valor de posición se refiere al valor relativo de los dígitos de acuerdo con la posición que tienen dentro del número. Una unidad en cualquier lugar corresponde a 10 unidades de la siguiente unidad más pequeña; por ejemplo, una centena corresponde a 10 decenas.
El rol del 0 también es importante porque marca un “lugar” cuando este está vacío y tiene un rol esencial en mantener la posición de los otros dígitos.

Etapas en la comprensión de sistema de numeración decimal:

Etapa 0: Significación Global: El niño no muestra comprensión del valor relativo de los dígitos; sabe que 35 es la forma corta de escribir treinta y cinco pero no reconoce que el dígito 3 significa 3 grupos de diez unidades.

Etapa 1: Significación Aditiva: El niño se hace conciente del valor relativo de los dígitos y lo puede expresar utilizando la adición:
87 = 80 unidades y 7 unidades; 87 = 80 + 7
346 = 300 unidades, 40 unidades y 6 unidades; 346 = 300 + 40 + 6

Etapa 2: Significación Aditiva-Multiplicativa: Ahora el niño puede expresar el valor  relativo de los dígitos utilizando tanto la adición como la multiplicación:
87 = 8 grupos de 10 unidades y 7 unidades; 87 = 8 x 10 + 7
346 = 3 grupos de 100 unidades, 4 grupos de 10 unidades y 7 unidades
346 = 3 x 100 + 4 x 10 + 6 x 1

Etapa 3: Significación Polinominal: El niño puede asignar un significado abstracto a cada dígito:
346 = 3 grupos de diez de diez, 4 grupos de diez y 6 de uno
346 = (3 x 10 x 10) + (4 x 10) + (6 x 1)
346 = (3 x 10²) + (4 x 10¹)+ (6 x 10⁰)

Al examinar estas etapas, se hace evidente que para que los niños comprendan completamente el sistema, necesitan construir un pensamiento aditivo y multiplicativo (veremos esto en otro artículo).  En mi experiencia, al trabajar con niños de tercero y cuarto grado al comienzo del año escolar, la mayoría pueden mostrar un razonamiento aditivo cuando se les cuestiona y sólo unos pocos muestran un razonamiento aditivo-multiplicativo.

Si los niños no tienen una comprensión básica del sistema, van a tener muchas dificultades tanto en la lectura y escritura de números cada vez más grandes como en la aplicación de los algoritmos de las cuatro operaciones que les enseñamos; especialmente aquellos que implican componer o descomponer unidades (lleva o prestar).  Muchos de los errores más comunes que ellos muestran al leer y escribir números de varios dígitos y al trabajar en los algoritmos se deben al hecho de que ellos comienzan a escribir números y a operar con ellos antes de haber comprendido la lógica del sistema de numeración decimal.  Por esta razón, a los niños se les debe dar muchas oportunidades para construir la lógica del sistema de numeración decimal y nosotros, como maestros, debemos dar importancia a la exploración del razonamiento de los niños para conocer el proceso que cada uno de ellos sigue en la comprensión del sistema.  También necesitamos comprender la lógica detrás de sus errores para poder proveer las actividades de recuperación necesarias; por ejemplo, pueden escribir 702 para setenta y dos porque primero dicen 70 y luego 2.

¿Cómo podemos ayudar a los estudiantes a construir el sistema de numeración decimal?

Debemos tratar de utilizar experiencias concretas con el fin de construir el sistema teniendo como base la concepción informal de número que ellos tienen.  Es importante comenzar ayudando a los niños a reconocer la importancia de hacer grupos, especialmente de 10, utilizando materiales que exijan cada vez una mayor abstracción, seguido de representaciones gráficas antes de incorporar el trabajo simbólico.

Fríjoles, tapas y eventualmente platos constituyen materiales especialmente buenos para comenzar porque el niño puede poner 10 fríjoles dentro de una tapa para hacer un grupo de 10 y luego 10 tapas, cada una con 10 fríjoles, dentro de un plato para hacer una centena.  Una vez los niños han hecho estas agrupaciones, entonces se les debe pedir que hagan dibujos para representar los números como lo hicieron con los fríjoles, las tapas y los platos.  El ver los fríjoles dentro de las tapas y las tapas dentro de los platos también ayuda a consolidar la noción de inclusión, una importante estructura en el pensamiento lógico-matemático.

Los Bloques de Dienes en base 10 serían el siguiente material manipulativo a utilizar, también seguido de una representación gráfica.  Este material requiere de una mayor abstracción porque 10 unidades (cubos pequeños) se intercambian por una decena (regleta), 10 decenas (regleta) se intercambian por una centena (cuadrado plano) y 10 centenas se intercambian por una unidad de mil (cubo grande).

Fichas de color se pueden utilizar más adelante.  En este tipo de material cada tipo de unidad se representa por una ficha de un color diferente; por ejemplo, las unidades se representan por las fichas rojas, las decenas por las azules y las centenas por las verdes.  Una vez más, esto debe ser seguido por una representación gráfica.

Diferentes tipos de ábacos; éstos pueden ser abiertos, verticales o hechos con papel.  En este caso, fichas iguales representan cada tipo de unidad (unidades, decenas, centenas, etc.) dependiendo de su posición.  Una vez más, el trabajo con este tipo de material debe ser seguido por una representación gráfica.

El estructurar juegos en que los niños deben registrar puntajes teniendo que agrupar o descomponer por diez ayuda a motivarlos a trabajar en una actividad significativa mientras construyen el sistema numérico decimal.

A los niños se les debe motivar a inventar sus propios sistemas para calcular puntajes altos antes de que se les introduzca a los procedimientos aritméticos formales.  En otras palabras, se les debe ayudar a construir sus propios algoritmos (veremos esto en otro artículo).

Actividades prácticas para hacer con los niños

Contar objetos: Divida los niños en grupos pequeños (2 a 3 estudiantes) y de a cada grupo un tarro o un bolsa transparente con algunos objetos (entre 20 y 40).  Pídales que hagan un estimado del número de objetos y que luego los cuenten para ver que tan buena fue su estimación.  Entonces hágales las siguientes preguntas y discuta las respuestas a cada una de ellas:

1. ¿Hay alguna manera en que puedan organizar los objetos para poder saber cuántos hay en ellos sin tener que contarlos uno por uno?
2. ¿Cuáles son las diferentes formas en los podemos agrupar?
3. ¿El número de objetos cambia o se mantiene igual si hacemos diferentes tipos de grupos?
4. ¿Cuáles son las mejores maneras de hacer grupos de tal manera que el conteo sea más rápido?
5. ¿La forma como escribimos números grandes tiene que ver con cierta manera de hacer grupos?

Cuando todos los grupos de niños han organizado sus objetos en grupos de diez y sobrantes de a uno, pida a los niños que digan su número y que lo expliquen diciendo cuántos grupos de 10 objetos y cuantos de a uno tienen.  También se les puede preguntar qué grupo tiene el número más grande y cuál el más pequeño.  Finalmente se les puede pedir que organicen los números en orden del menor al mayor, dando razones para el orden que hacen.

Contando fríjoles: De a cada niño algunos fríjoles y tapas y pídales que encuentren el número de fríjoles que recibieron, haciendo primero grupos de 10 fríjoles y poniendo cada grupo dentro de una tapa y dejando los fríjoles que sobran por fuera de las tapas.  Entonces se le pide a cada niño que diga el número de fríjoles que tiene y que lo compare con la cantidad de fríjoles que tiene el niño que está a su lado para ver quién tiene más.  Luego se les puede pedir que dibujen el número que recibieron.  Se puede demostrar el uso de tarjetas que representen la posición de las decenas y las unidades para que ellos pongan las tapas en el lugar de las decenas y los fríjoles sueltos en el de las unidades.
Esta actividad también se puede hacer con cantidades más grandes de fríjoles para que ellos puedan hacer centenas utilizando platos.

Una actividad similar también se puede realizar usando otros materiales manipulativos descritos anteriormente, de acuerdo con el nivel de abstracción que los niños puedan manejar.

Juego de dados: Divida a los niños  en grupos de dos a tres estudiantes.  A cada niño se le entregan unos fríjoles y unas tapas en un plato, un par de dados (con puntos o números) y un tarjeta dividida con una raya para que ponga las unidades (fríjoles sueltos) a la derecha y las decenas o unidades de diez (10 fríjoles dentro de una tapa) a la izquierda.

Las instrucciones del juego se le dan oralmente a los niños (con una demostración):

1. Cada niño tira un dado para decidir quién comienza; el que saque el número mayor comienza.
2. El primer niño tira los dos dados y suma los puntos.
3. Él o ella toma del plato el número de fríjoles dependiendo del número de puntos que sacó, haciendo los grupos de 10 fríjoles que pueda y poniéndolos dentro de una tapa, dejando los fríjoles que le sobran por fuera.
4. Él o ella coloca las tapas con los grupos de 10 fríjoles en el lado de las decenas y los fríjoles sueltos en el lado de las unidades sobre la tarjeta.
5. Cada turno, el/la estudiante debe agregar (sumar) a la tarjeta la cantidad de fríjoles que muestre el puntaje en los dados.
6. Él o ella no puede tener más de 10 fríjoles sueltos en el lado de las unidades de la tarjeta; cada vez que pueda hacer un nuevo grupo de 10 fríjoles, los debe poner dentro de una tapa y moverlos al lado de las decenas de la tarjeta
7. El juego termina cuando el primer niño llegue al número 99 o cuando se acaben los fríjoles del plato.
8. El niño que forme el número más grande con los fríjoles gana.

A los niños también se les puede pedir que hagan un registro de los puntos que han ganado en cada turno y el número total de puntos que tienen.

Un juego similar se puede hacer pidiendo a los niños que comiencen con el número 99 y que quiten (resten) de la tarjeta el número de fríjoles de acuerdo con el puntaje que saquen en los dados; en este caso deben descomponer un grupo de 10 fríjoles cuando no haya suficientes fríjoles en el lado de las unidades de la tarjeta.

Diferentes materiales manipulativos como los bloque de Dienes en base 10, fichas de color o un ábaco se pueden utilizar de acuerdo con el nivel de abstracción de los niños.

Las actividades descritas están diseñadas para niños entre las etapas 0 y 2 descritas en este artículo. Otros juegos o investigaciones también se pueden utilizar para que los niños tengan experiencia con una variedad de actividades atractivas mientras construyen el sistema de numeración decimal.  Una vez los niños tengan una buena comprensión del sistema numérico con números de dos dígitos, actividades similares con números de tres y cuatro dígitos deben ser diseñadas.  Cuando hayan interiorizado el sistema, la extensión del sistema a números más grandes no debe presentar problemas significativos.

Los niños deben manejar el sistema de numeración decimal con números hasta las unidades de mil hacia el final de tercero de primaria.   Para lograr este objetivo es necesario hacer una variedad de juegos de composición y descomposición como los descritos en este artículo para ayudarlos a construir el sistema.  Hacia el final de la primaria deben poder manejar números entre las unidades de millón y las milésimas.  El uso de manipulativos en esta etapa es limitado, pero como se ha dicho anteriormente, los estudiantes no deben presentar dificultades extendiendo el sistema si lo han comprendido e interiorizado con números de al menos cuatro dígitos.

Bibliografía:

Baroody, A.J. (1996) An investigative approach to the mathematics instruction of children classified as learning disabled.  In D.K. Reid, W.P. Hresko & H.L. Swanson (eds.), Cognitive Approaches to Learning Disabilities (3^rd edition, pp.545-615).  Austin. TX: Pro-Ed.

Castaño-García, J. (1997) El sistema decimal de numeración. Hojas Pedagógicas 6.

Chinn, S.J. & Ashcroft. J.R (1998) Mathematics for Dyslexics: A Teaching Handbook. London: Whurr Publishers.

Geary, D. (1994) Children’s Mathematical Development. Washington, DC: American Psychological Association.